Kurioses in der Mathematik

Na, da bin ich ja mal gespannt wie dieser Thread von euch aufgenommen wird, und damit: Ahoi Wald!

Der Titel sagt's - und ja, er ist ernst gemeint! Mit eurer Hilfe würde ich hier gerne eine Sammlung an skurilen, kuriosen, vielleicht paradoxen oder witzigen Beispielen aus der Mathematik erstellen. Da der Titel die Sache obendrein ohnehin erklärt, starten wir direkt mit einem Beispiel, folgender Funktion:

Was ist nun an dieser Funktion so besonders?
Betrachten wir die ersten Funktionswerte: (hier nur aus N): f(0)=0, f(1)=1/2, f(2)=2/3, f(3)=3/4, usw.. f(-1)=-1/2, f(-2)=-2/3, usw.. Man sieht schnell, dass nur Brüche herauskommen, dessen Nenner (unten) größer als der Zähler ist - der Wert also stets kleiner als 1 ist. Mit den negativen Brüchen erhalten wir also nur Zahlen zwischen -1 und 1 (~aus dem Intervall (-1;1) ). Einsetzen dürfen wir alle Zahlen die es gibt, etwa ist f(1.000.000)= 1.000.000/1.000.001.

Spannend ist nun, dass jede Zahl aus dem Definitionsbereich (jedes x) genau einen Partner im Wertebereich hat (y; f heißt bijektiv). Das bedeutet aber, dass die Anzahl der eingesetzten Zahlen genausogroß ist, wie die der herauskommenden! Es ist der (anerkannte) Beweis, dass im Intervall (-1;1) genauso viele Zahlen "stecken", wie auf dem gesamten Zahlenstrahl (der das Intervall ja mehrmals enthält)!

Klingt paradox, ist aber so! (Jetzt klar, was ich hier meine? ) Interessant wird die Funktion darüber hinaus übrigens, wenn man sie mit einer Konstanten multipliziert, die zwischen 0 und 1 liegt, etwa f_2(x)=1/2*f(x). Nun kommen nurnoch Werte zwischen -1/2 und 1/2 heraus - obwohl jedes x natürlich immernoch seinen einzigartigen Partner "y" hat (~die Funktion natürlich bijektiv bleibt). Insgesamt stecken in jedem beliebig kleinen Intervall genausoviele Zahlen, wie es überhaupt gibt..

Grüße, IP

Da fällt mir doch glatt beim Schreiben 'ne ähnliche Sache ein - Moment, besser ist's abgegrenzt im neuen Beitrag:

Wieder geht's um eine Funktion - bzw. um einen Rotationskörper um diese:

Diese "Trompete" reicht zwar bis ins Unendliche, dennoch hat sie ein endliches Volumen! (mathematisch leicht beweisbar (s.u. im Spoiler), aber nicht so paradox, wie man spontan denken könnte: Es ist wie beim berühmten Turm, der unendlich lang gebaut wird und dennoch nicht unendlich hoch wird (es wird täglich nurnoch halbsoviel gebaut, wie am Vortag - etwa erst 1m, dann 1/2, dann 1/4. Der Turm wird nicht höher als zwei Meter, denn andersrum gesehen, wird das Stück das fehlt ja immer nur halbiert!) Kommen wir also lieber zum Paradoxen:

Wie bereits gesagt ist das Volumen konstant, nämlich hier genau pi, also ganz grob 3 (etwa: Liter Farbe). Spannend ist, dass die Oberfläche der Trompete unendlich groß ist! Auf deutsch bedeutet das, dass man den "Behälter" zwar mit Farbe füllen kann (so dass nix mehr rein passt) - man aber unendlich viel Farbe braucht, um ihn VON INNEN anzustreichen!

Btw klingt das ganze nur paradox. Man kann Flächen nämlich gar nicht mit Volumina vergleichen, welches Volumen hat denn eine unendlich große Fläche für sich? Null! Aber komisch kommt einem die mathematisch völlig korrekte Aussage dennoch vor..

Grüße, IP

PS: Im Spoiler der mathematische Hintergrund:

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Aber du ahst recht...Mathe ist nicht Mathe und erst recht nicht "Logisch".

Doch, eigentlich finde ich Mathe logisch! Kommt halt auf die Vorraussetzungen an (etwa auch: Parallelaxiom) ;).

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Oh, Prima, ich lad mir eben dne neuen Übungszettel Mathematik für Biologen runter und jammer dann gleich hier rum wenn ich nicht weiter komme, so leicht war's noch nie

Ich wußt' schon immer, dass Aufgaben aus der Biologie kurios sind!

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Netter Versuch, das Niveau im Dies&Das-Bereich zu heben, aber ob das so viele zu schätzen wissen...?

Aber wie kann man so klar und deutlich das Volumen von der Fläche trennen? Das Volumen ist doch abhängig von der Fläche, oder?

"Niveau heben" will ich ja gar nicht, aber solche Kuriositäten finde ich eben spannend! Und vielleicht hört ja irgendjemand mal was (oder hat eh' derartiges parat) und schreibts dann hier rein - mich freuts. Klar, die meisten werden sich denken: Was ist das denn für ein Spinner?!

Zur Fläche: Flächen haben eben kein Volumen, sie besitzen sogesehen ja die Höhe h=0. Oberflächen als "Anstrich" zu sehen macht also keinen Sinn, denn die Farbe hätte eine (kleine) Höhe, und damit natürlich auch ein Volumen. Wie gesagt "klingt's" nur kurios. Und klar, das Volumen etwa aller geraden Körper ist V=G*h - also abhängig von der Grundfläche. Mit h=0 ergibt sich aber V=G*0=0, absolut logisch!

Grüße, IP

PS: Hier passt's nur bedingt, aber ich will dafür keinen neuen Thread aufmachen: Guckt euch diese Seite mal an, wie ich finde ist sie "nie-dagewesen-krass"! www.wolframalpha.com Man kann eingeben, was man will (auf english), man bekommt die Antwort (nicht immer 42 ). Probiert's aus!

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Ich fand das Eingangsposting gar nicht so paradox, da es ja (für mich zumindest), dass die Zahlen unendlich "dicht" auf der Zahlengerade verteilt sind. Ok, mathemaisch bin ich natürlich auch relativ vorbelastet.

Genau das ist ja das spannende an der Mathematik (wie ich finde) - wenn man's verstanden hat (Zitat: "dicht"), ist die Sache wieder logisch. In der Realität wäre es aber paradox, wenn eine "Sache" mehrmals in eine andere reinpasst, obwohl sie "gleichgroß" sind. (Ich hoffe, ich hab's schwammig genug formuliert, damit man hier nicht im Sinne der Mathematik widerspricht.. ).

Zum Ziegenproblem (Türenproblem) :

In einer Quizshow darf der Spieler zwischen drei Toren wählen, wobei sich nur hinter einem Tor ein Preis verbirgt. Nachdem der Spieler gewählt hat (etwa Tor 1), öffnet der Moderator ein Tor ohne Preis (Diaaaaauuoommm! Zonk; bspw. Tor 2) und fragt den Spieler: möchten Sie vielleicht doch lieber Tor 3 (also wechseln)?

Die meisten werden spontan wohl mit "Is' völlig egal, ob der Spieler wechselt oder nicht!" antworten, die Mathematik sagt aber, dass man eine höhere Wahrscheinlichkeit auf den Gewinn hat, wenn man wechselt (sogar eine doppelt so hohe)!

Ich persönlich finde das jetzt allerdings nicht so spannend (hab' auch nie verstanden, warum das Problem so berühmt ist), denn die Rechnung ist logisch und verständlich:

Dazu muss man sich nur klarmachen, dass man ohne Wechseln gewinnt, wenn man von Anfang an das richtige Tor hat (WSK: 1/3=33,333%) und mit Wechseln gewinnt, wenn man am Anfang ein falsches Tor wählt (WSK: 2/3=66,666%). Fertig...

Grüße, IP

PS: und sorry, falls MP das selbst darlegen wollte - ich war gerade on!

edit: "Und was hast du gegen Bio-Mathe? Wir machen grad so nen super Spaß mit Logarithmen, wo alles immer das Gleiche ist; so kurios dürfte das doch für dich nicht sein, oder?"

Ich sag' mal so: Ihr habt natürlich recht, also gehört's auch nicht hier hin! (das wollte ich mit "ich wusst' schon immer, Biomathe ist kurios" leicht ironisch verklickern ).

Primzahlen find ich auch mega interessant. Deine WSKs sind aber nur Schätzwerte, oder? (wie gibt's etwa in den ersten 1000 Zahlen 'ne WSK von 1/6? Gibt es da 1000*1/6=166,66 Primzahlen? xD) Wie heißt denn diese Summenfunktion von Gauß(?) nochmal? Hat man nicht später festgestellt, dass sich die Häufigkeit logarithmisch entwickelt?

Zur Pfanne:

Das ist wirklich kurios, dass ihr in der Uni Neuntklässler-Aufgaben löst! (x+1,3x=50<=>x=21,739130... € für den Deckel). Was sind das obendrein für blöde Zahlen? Oder soll die Antwort: "die gibt es nicht einzelnd" sein (wegen des Wortes "muss" im Satz davor).. Naja!

Grüße, IP