Das ist ja stark, vielen Dank mal wieder, Chapeau! 
Grüße, IP
PS: Wegen der schnellen Antwort hab' ich mich erst gesträubt, die Spoiler zu öffnen 
("was?... der macht das sofort?! Ich Nulpe.. xD"). Aber auf die Idee der versetzten Folgen bin ich echt gar nicht gekommen! Nice Wald, Nice!
Na ja, wenn man oft genug Aufgaben von dem Schlag stellt, kennt man irgendwann alle gängigen Schemata. 
So, mal wieder was neues, obwohl, ich mach mal ein kleines Spielchen - wo wir gerade von Zahlenreihen sprechen:
Welche Folge ist das hier:
Zitat7 | 22 | 11 | 34 | 17 | 52 | 26 | 13 | 40 | 20 | 10 | 5 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | .. | .. | ..
Damit man's checken kann, noch diese hier (die Auflösung kommt eh' gleich, im 2. Absatz)
Zitat12 | 6 | 3 | 10 | 5 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | .. | .. | ..
Wer will, der knobelt ein bißchen bevor er weiterliest, es folgt die Auflösung (und ein eigentlich anderes Thema)
Die Collatz-Vermutung
Lothar Collatz hat 1937 eine einfache Vorschrift zum Bilden von Zahlenfolgen entworfen, wobei man wie folgt vorgeht:
1. Denke Dir eine (ganze, positive) Zahl.
2. Falls die Zahl gerade ist, halbiere sie. Falls sie aber ungerade ist, multipliziere sie mit 3 und addiere 1.
3. Wiederhole Schritt 2 mit der erhaltenen Zahl, bis..., ja bis Du stets die Zahl 1 erhälst!
Mal gleich vorweg: Das "stets" ist bis heute unbewiesen! Man vermutet (stark), dass es mit jeder Zahl klappt, bewiesen wurde das aber erst für die ersten 5,5*10^18 Zahlen (5,5 Billiarden; Stand: 2009; einige Universitäten überprüfen noch weitere Zahlen..).
Das mMn spannende an der Folge ist die "zufällige" Vergrößerung, bzw. eben Verminderung der Zahl. Stellt man sich etwa einen Ball vor, der nach diesem System auf einem Boden springt, dann würde der 7er-Ball (siehe Folge oben) erst auf 22 (etwa Meter) hochspringen, um dann auf 11 zu fallen, wieder auf 34 anzusteigen, auf 17 zu fallen, auf 52 hoch, runter auf 26, ..., bis er sich eben irgendwann auf die Höhen 1 | 4 | 2 | 1 | usw. einpendelt.. (das sind also die gesuchten Zahlenglieder oben).
Ich hab' das jetzt mit einem kleinen JS-Skript ("javascript-skript"? Hm, richtig so, oder genauso falsch wie der heilige Sankt Martin?)), jedenfalls mit 'nem Skript visualisiert, is' irgendwie spannend..
Links in vergrößerten Ausschnitt sieht man u.a. die oben angegebene Folgen, mit den (x-)Startwerten 7 und 12. Die y-Werte ergeben sich aus den einzelnen Folgegliedern (insofern handelt es sich nicht um eine Funktion..). Nicht sichtbar ist die Reihenfolge der Folgeglieder (könnte ich farbig machen, bringt aber keine neuen Schlüsse?!). Rechts sind die Folgen bis x=1000 sichtbar (wobei ich das Bild oben abgeschnitten hab..).
Die Strahlen aus dem Ursprung (proportionalen Funktionen) lassen sich recht leicht erklären, z.B. verursacht jede zweite Folge einen Punkt auf der Geraden y=0.5x (denn jede zweite Ausgangszahl (x) ist gerade; ergo ist das erste Folgeglied stets 0.5x (gerade Zahlen werden halbiert). Die anderen Strahlen lassen sich analog erklären.
Auch manche horizontalen (konstanten) Funktionen lassen sich schnell erklären, so MUSS z.B. oBdA* jede Folge durch die y-Werte 16 | 8 | 4 | 2 verlaufen; es ergeben sich die waagerechten (stetigen) Geraden.
Spannend ist hier z.B., dass die 32er-Zeile NICHT stetig ist. Das liegt daran, dass die Folge mit Startwert 3 sozusagen "das Folgeglied 32 nicht braucht", um auf 1 zu fallen (siehe Bild; Vergrößerung). Somit kommt im rechten Bild (mindestens) bei jedem geraden Vielfachen von 3 ein Loch in der 32er-Reihe (z.B. die 6er-Folge: Halbiert auf 3 und zack, die 32 wird nicht erreicht. Oder die 12: Halbiert auf 6, dann auf 3 und zack! )
Viel spannender in diesem Zusammenhang ist aber, dass z.B. die 7er-Folge auch keine 32 braucht: Sie steigt zwischendurch auf 40 (siehe oben), fällt dann ja auf 20, dann 10. Und die 10 "gehört" praktisch auch wieder zur 3er-Folge, denn es ist das erste Folgeglied (3 ungerade, also mal 3 ergibt 9 und plus 1 macht 10).
Prinzipiell zieht sich dieses "In eine andere Folge übergehen" durch das gesamte System. Angenommen, wir würden keine dieser Folgen kennen, dann wäre z.B. die 3er-Folge völlig neu (und sie erschiene zufällig): 3 | 10 | 5 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1. Ist diese aber bekannt, dann weiß man natürlich, dass auch die 10er- und 5er-Folge bei 1 aufhört, denn diese sind ja bereits enthalten. Man kann also am besten fragen, ob es unendlich viele NEUE Folgen gibt.
Sehen wir weiter nur die 3er-Folge als "bekannt" an, so haben wir jetzt die 10er und 5er-Folge mit gelöst. Die 4er-Folge ist klar (weil Zweierpotenz -> fällt direkt auf 1), die 6er- wird (s.o.) nach einem Schritt zur 3er-Folge, es kommt die 7er-Folge, als erste echte neue (Teil-)Folge. Wie ja oben bereits angerissen, ist die Folge allerdings nicht komplett neu, denn sie erreicht zwischendurch die Zahl 10, die ja bereits in der 3er-Folge vorkommt. Wollten wir nur wissen, ob die 7 auf die 1 fällt, könnten wir aufhören, denn von der 10 wissen wir es ja schon..
Ich persönlich hatte in diesem Moment das erste mal an einen Zusammenhang mit Primzahlen gedacht, denn wir konstruieren gerade eine Art Sieb für unsere Collatz-Folgen - ein Sieb, dass insbesondere aber Primzahlen (mitsamt ihren Potenzen und gegenseitigen Produkten (insb. ) übrig lässt (als noch einzelnd zu testende Folgen):
Zusammenfassung (Welche Folgen könnten NICHT auf 1 fallen?)
1. alle 2er-Potenzen fallen raus.
2. die 3 und alle ihre Verdopplungen (also 3*2^n (mit n€N_0) ) fallen raus.
3. Die Folgeglieder der 3er-Folge, samt ihrer Verdopplungen fallen raus.
...
Spannend sind also insbesondere immer die Zahlen, die in einer neu gelernten Folge NICHT vorkommen; ich hätte einfach Primzahlen erwartet - aber ganz im Gegenteil: Insbesondere die Folge-Primzahlen scheinen in einer "neuen" Folge bereits enthalten!
So hat die 3er-Folge das Folgeglied "5", nach obigem Muster muss also die 5er-Folge (und all' ihre geraden Vielfachen nicht betrachtet werden).
(Die 4er-Folge ist eine 2er-Potenz)
(Die 5er-Folge ist 3er-Folgeglied)
(Die 6er-Folge ist eine Verdopplung der 3er-Folge)
Die nun zu betrachtende 7er-Folge hat sogar die 11, die 13 und die 17 enthalten, die nächste Primzahl wäre also erst die 19.
(Die 8er-Folge ist eine 2er-Potenz)
Im Sinne der Folgen kommt aber erst die 9er-Folge, sie lautet: 9 | 28 | 14 | 7 | fertig (wie die 7er-Reihe weitergeht, wissen wir ja schon, bzw. wissen wir, dass wir auf 1 fallen). Eigentlich hätten wir schon bei 28 aufhören können, denn man erhält sie nach zweimaligem Verdoppeln der 7.
(Die 10er-Folge ist eine Verdopplung der 5er-Folge)
(Die 11er-Folge ist in der 7er-Folge)
(Die 12er-Folge ist eine Verdopplung der 3er-Folge)
(Die 13er-Folge ist in der 7er-Folge)
(Die 14er-Folge ist eine Verdopplung der 7er-Folge)
Es kommt die 15er-Folge. 15 | 46 | 23 | 70 | 35 | 106 | 53 | 160 (fertig) | 80 | 40 | 20 | 10 | 5 | ..
(Die 18er-Folge ist eine Verdopplung der 9er-Folge)
usw..
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ich mach' mal 'n Cut, es interessiert wahrscheinlich eh' niemanden.. xD (ich find's spannend! ^^).
Grüße, IP
PS: Ich hör' so schnell auf, da ich die Zeit mal mit aufnehmen will.. xD muss programmieren.. xD
