Kurioses in der Mathematik

  • Primzahlen find ich auch mega interessant. Deine WSKs sind aber nur Schätzwerte, oder? (wie gibt's etwa in den ersten 1000 Zahlen 'ne WSK von 1/6? Gibt es da 1000*1/6=166,66 Primzahlen? xD) Wie heißt denn diese Summenfunktion von Gauß(?) nochmal? Hat man nicht später festgestellt, dass sich die Häufigkeit logarithmisch entwickelt?


    Ich kann dir so aus dem Stand leider auch nichts Näheres dazu sagen... ist nur das Wissen, was ich vor ein paar Wochen in einer Doku aufgeschnappt habe. Ich glaube aber, dass Riemann die logarithmische Entwicklung festgestellt hat. Da hört es dann aber auch auf. ^^
    Momentan ist die Integralrechnung wichtiger für mich, Dienstag wird die LK-Klausur darüber geschrieben...
    An Kuriositäten der Integrale bin ich also momentan sehr interessiert. :P

  • Beim ersten Post fällt mir ein, wie ich gefragt wurde, ob unendlich verschieden wäre. Es gäbe ja unendlich viele natürliche Zahlen, ebenso unendliche viele Quadratzahlen, aber dennoch weniger als natürliche Zahlen. Genauso wie die visuelle Darstellung von f(x) = { 1 (x € Q); -1 (x € R\Q) zwei Geraden werden, für eine Funktion aber unsinnig, da es nur einen Funktionswert gibt, ABER sie sind ja unendlich dicht beieinander.


    Das Ziegenproblem (bzw. ich hab es als Gefangenenparadoxon kennengelernt) ist für mich dagegen eine Schweinerei. Dass sich die Wahrscheinlichkeit für die Beteiligten ändert, wenn jemand anders fragt, obwohl sich die Antwort nicht ändert, kann ich zwar rechnerisch nachvollziehen, aber keineswegs interpretieren.


    Da sind mir Urlauber- oder Gefangenendilemma lieber, wenn man bei rein rationalen Überlegungen sich selbst ein Bein stellt.

  • Mit einer leichten Abänderung hat Th3TerminATor gerade die bemerkenswerte Diriclet-Funktion erwähnt - in ihrer Originalform lautet sie
    f(x) = 1, falls x rational ist; f(x) = 0, falls x irrational ist.
    So ist f zwar nirgendwo stetig, aber trotzdem (Lebesgue-)integrierbar. Der Flächeninhalt unter dem Graphen ist Null, was anschaulich erklärt daran liegt, dass f nur an vernachlässigbar vielen ("unendlich abzählbar vielen") Punkten nicht Null ist.


    Die Funktion aus dem ersten Post hat übrigens eine hübsche Umkehrfunktion:
    f(x) = - x/(|x| - 1)
    Nur zwei Vorzeichenänderungen, und der Graph ist gespiegelt:

    Diese Funktion bildet das Intervall (-1, 1) bijektiv auf die reellen Zahlen ab und zeigt damit ebenfalls, dass |R und (-1, 1) die gleiche Mächtigkeit besitzen.


    Eine weitere interessante Eigenschaft besitzt folgende Funktion:
    f(x) = sin(x) / x

    Hier haben wir eine Funktion, bei der für x->0 (sprich: "Icks gegen null") zwar der Nenner gegen Null geht (wie bei obiger Funktion für x->1), bei der der Funktionswert aber trotzdem nicht gegen Unendlich geht. Das liegt daran, dass der Zähler für x->0 ebenfalls gegen Null geht (es ist ja sin(0)=0 ), und zwar mit derselben "Geschwindigkeit" wie der Nenner. Wäre z.B. f(x) = sin(x)/x² , dann würde der Graph für x->0 gegen Unendlich gehen. So wie es ist, können wir den Funktionswert an der Stelle Null sogar ausrechnen, obwohl eigentlich f(0) = 0/0 ist. Wie man an der Zeichnung sehen kann, kommt 1 heraus.

    Zitat

    "Give a man a fire and he's warm for the day. But set fire to him and he's warm for the rest of his life."
    Terry Pratchett

  • Ah... was Mathelehrer in der Schule für Aufgaben stellen können...


    Da gibt es doch sogar einen Sazu (von L'Hospitale oder so...), wenn lim f(x)/g(x) = 0/0 (bzw. unendlich/unendlich), dann gilt: lim ( f(x)/g(x) ) = lim ( f'(x)/g'(x) ).


    In diesem Fall wäre also lim sin(x)/x; x->0 = cos(x)/1 = 1. Hihi, im Unterricht aufgepasst :D

  • Na bitte, aufpassen lohnt sich. Allerdings hat der Satz von de L'Hospital - wenn man streng ist - noch eine ganze Reihe von Vorbedingungen, damit man ihn benutzen darf. Einfach zu sagen "Oh, 0/0, machen wir mal L'Hospital" funktioniert nur in der Schule, wo die Aufgaben immer so gestellt sind, dass alles glatt aufgeht. Hier geht es allerdings auch ohne diese nützliche Regel, indem man die Reihendarstellung des Sinus ausnutzt und 0^0=1 definiert.

    Zitat

    "Give a man a fire and he's warm for the day. But set fire to him and he's warm for the rest of his life."
    Terry Pratchett

  • Zitat

    Zum Thema kann ich diesen Youtube-Kanal beisteuern: http://www.youtube.com/user/Vihart?featu…u/9/CfJzrmS9UfY.

    Hehe, wie geil ist die denn? :D Hab mir bestimmt ein Dutzend ihrer Vids angeguckt...


    Zu f(x)=sin(x)/x:


    Ich bin jetzt schon begeistert von dem Thread!
    Herrlich, l'Hopital erklärt's, verstanden hab' ich die Sache aber erst in diesen Minuten (außer ihr schreibt gleich: falsch! ;) ). Nämlich:


    (Stetig) behebbare Lücken müssen kürzbare Polynome zur Folge haben (soweit ich glaube - ~mir das verständlich ist). Etwa ist bei f(x)=(x-1)/(x^2-1) x=1 behebbar, da das zugehörige Polynom (x-1) in Zähler und Nenner vorkommt [ f(x)=(x-1)/((x+1)(x-1))=1/(x+1) ]. "Jetzt" behebbar mit f(1)=1/(1+1)=1/2, also P(1|1/2).


    Bei f(x)=sin(x)/x gilt das ja auch!
    Mit sin(x)=summe ( (-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)! ) [Taylor, n von 0 bis Unendlich] besitzt jeder Summand ja ein x, sodass man es tatsächlich herauskürzen kann. Somit ist f*(x)=summe ( (-1)^n * x^(2n)/(2n+1)! ) [im Zähler nurnoch x^(2n) ;) ] und dieser Grenzwert strebt gegen 1 (den ersten Summanden). Herrlich - weil logisch! Darüber hinaus wird auch f**(x)=sin(x)/x^2 erklärt, denn aus dem ersten Summanden - der Eins - läßt sich kein weiteres x mehr herauskürzen, x=0 ist also nicht behebbar.


    Grüße, IP


    PS: Für alle, die den letzten Absatz langweilig fanden, zur Aufmunterung: Der Satz des Pythagoras ist NICHT von Pythagoras (kein Witz) :bier: . Vielmehr hat dieser wohl bekannteste Mathematiker gar keine schriftlichen Aufzeichnungen hinterlassen! (Quelle: Jahr-der-Mathematik.de (oder so, müsstet ihr googeln; von der Bundesregierung)).


    edit: Die Adresse stimmt.


    2. edit: Hab' mir arcane's "0^0" nochmal verinnerlicht ;) - ich hatte es wegen x^0=1 übergangen. Naja, es hat schon Sinn, x^0 als 1 zu definieren (ueberall).. Erstmal ist x^0=x^(1-1)=x/x=1, was verständlich ist, da sonst die Potenzgesetze nicht mehr (überall) funktionieren. Weiter zeigt doch auch die Ableitung (~Steigung) einer Geraden, dass x^0=1 sein muss: g(x)=5x^1 g'(x)=5*1x^0=5 - auch an der Stelle 0 (ablesbar ;) ).


    Naja, es ist schon spannend.. Im Prinzip geht's tatsächlich nur um's "gleichschnell"! ;)

  • Bis auf 2 meiner Profs ist das Leiblingswort aller "trivial". Die aus-der-Reihe-Tanzer sagen lieber "infinitesimal" bzw. "ominös" :thumbsup:

    Zitat von Das Lied von Eis und Feuer: Die Saat des goldenen Löwen, S. 103

    Die Macht ist stark in dir.

  • @Pimp: Ja, mit dem x zu kürzen war genau, was ich meinte. Hierbei muss man aber daran denken, dass man nicht alles kürzen darf, was bunt ist, wenn man aus unendlichen Reihen kürzt. Sie müssen dazu schon (absolut) konvergent sein, oder es muss anderweitig feststehen, dass das Kürzen nicht zu Vorzeichenänderungen einiger Summanden führt oder dass das nicht schlimm ist.

    Zitat

    "Give a man a fire and he's warm for the day. But set fire to him and he's warm for the rest of his life."
    Terry Pratchett

  • Cool, ein Thread für mich! Da bin cih ein paar Tage nicht da und verpasse sowas...
    Egal.


    Ich hab dafür auch wirklich ein faszinierendes Kuriosum anzubieten: Ihr alle kennt wohl das Solitaire-Brettspiel. Man stelle sich nun ein unendlich großes, quadratisch gerastertes Brett dafür vor. Quer dadurch verläuft eine Linie:


    .
    .
    .
    ...ooooofooooo...
    ...oooooeooooo...
    ...ooooodooooo...
    ...ooooocooooo...
    ...ooooobooooo...
    ...oooooaooooo...
    ...ooooooooooo...
    ...ooooooooooo...
    ...ooooooooooo...
    .
    .
    .


    Die Frage ist die folgende: Ihr dürft beliebig viele, beliebig angeordnete Steine in die Hälfte unterhalb der Linie stellen. Oberhalb befindet sich kein einziger. Gebt nun Stein-Konfigurationen an, mit denen man die Felder a,b,c,d,e,f,... erreichen kann. Zum Beispiel kommt man hiermit zu a:



    ...oooooaooooo...
    ...oooooxooooo...
    ...oooooxooooo...


    ...und hiermit zu b:



    ...oooooaooooo...
    ...oooooxxxooo...
    ...oooooxooooo...


    Ab hier seid ihr gefragt. Das Kuriosum löse ich dann auf, wenn ihr die Lust verliert.

  • hui... und dabei habe ich schon damals beim solitaire nie gut abgeschnitten... beim standart englischen brett immer so 4-6 über geblieben...
    eine frage:

    ...und hiermit zu b:
    ...oooooaooooo...
    ...oooooxxxooo...
    ...oooooxooooo...

    gehst du davon aus, dass bei a schon ein stein liegt, oder soll der noch leer sein? wenn der leer ist, dann frage ich mich wie man mit der konstellation auf b kommen kann..



    vielleicht bin ich auch nur zu müde..
    grüße




    p.s: tut mir leid, die groß- und kleinschreibung ist der müdigkeit auch zum opfer gefallen.

  • Also: bei deinem Beispiel ist a unbesetzt. wie soll man dann auf b kommen mit der konstellation, wenn a auch besetzt sein soll?


    ...ooobooo...
    ...oooaooo...
    ...oooxxxo...
    ...oooxooo...


    -->
    ...ooobooo...
    ...oooxooo...
    ...ooooxxo...
    ...ooooooo...


    -->
    ...ooobooo...
    ...oooxooo...
    ...oooxooo...


    -->
    ...oooxooo...
    ...oooaooo...
    ...ooooooo...
    ...ooooooo...


    = b besetzt aber a frei.


    soll man also imer nur die gefragte position der buchstaben erreichen oder die ganze reihe bis dahin füllen?

  • Lustig, dass hier so ein Thread auftaucht ^^, die Zielgruppe für sowas ist doch meistens eher recht klein.
    Von MP wusst ich es ja; Neo, Quappe und Pimp, ihr habt also in irgendeiner Weise was mit Mathe zu tun? Interessiert mich gerade mal, ich habe Mathe als Nebenfach und mache momentan mein letztes Mathemodul (Numerik, gerade für Informatiker ganz interessant, aber von den Übungsaufgaben auch aufwändig [nicht unbedingt immer "schwierig", aber eben "aufwändig"]), aber vielleicht schau ich mir noch eine andere Vorlesung an oder mache im Master nochmal Mathe als NF, ist halt interessant, wie alles zusammenhängt. Andererseits... je tiefer die Vorlesungen gehen, desto weniger scheint das Thema Relevanz in der "Praxis" zu haben, es sei denn man geht in die Forschung. Aber viel interessanter als Mathe ist ja sowieso Informatik [/propagandaMode] ;)
    Vielleicht suche ich mir mal das ein oder andere Problem aus der Informatik 'raus, da gibt es nämlich auch sehr schöne von ^^

  • Zitat

    , ist halt interessant, wie alles zusammenhängt. Andererseits... je tiefer die Vorlesungen gehen, desto weniger scheint das Thema Relevanz in der "Praxis" zu haben, es sei denn man geht in die Forschung. Aber viel interessanter als Mathe ist ja sowieso Informatik [...] .

    Wie geil, da sprichst du mir ja 1:1 aus der Seele! :thumbsup: (hab Mathe und Info auf Lehramt studiert)
    Das Beste ist insgesamt also, man schreibt Programme, die bspw. die Mächtigkeit von Primzahlen berechnen! :dao:

  • Letzteres ist einfach: print(alephnull) :D


    Scherz beiseite, gerade die abstrusesten zahlentheoretischen Konstrukt sind es, die mich interessieren. Da kommt man dann zu so etwas wie dem Rätsel oben, und wenn ihr es weiterhin links liegen lasst, muss ich euch die Überraschung vermiesen und auflösen.

  • Informatik interessanter als Mathematik? Ihr fehlgeleiteten, ihr. Ich studiere ja Mathematik mit Ergänzungsfach Informatik, und würde das definitiv nicht verdrehen wollen. Ein bisschen Informatik ist ja ganz nett, aber auf die Dauer fehlt mir da die Tiefe. Übrigens sind Mathematiker die besseren Informatiker: In der nach Hauptfächern geordneten der Statistik, welche Studenten wie viele Punkte holen und wie gut in der Klausur abschneiden, belegen die Mathematiker Platz 1, sehr knapp vor den Physikern. Dann kommen eine ganze Weile lang Wirtschafts- und sonstwas-Informatiker, bis am Ende die reinen Informatiker auftauchen, direkt vor dem Schlusslich, den Informatik-Lehrämtlern (jaja, Pimp). Und dass diese Rangfolge so stimmt, kann ich jede Woche in den Übungsgruppen bestätigen. Ein Kommilitone von mir hat sogar seine Übungsgruppe gewechselt, weil da nur Informatiker drin waren, und er mit denen nicht zusammenarbeiten wollte.
    So, das muss an Seitenhieben auf die Informatiker reichen.


    Was ich hochspannend finde und womit ich mich momentan auch viel beschäftige, sind Schachengines. Da kommt alles zusammen: Das schönste Spiel der Welt (nicht Heroes VI, leider), und das Beste aus Mathematik und Informatik, um mit möglichst effizienten Algorithmen schnell große Suchtiefen und zutreffende Bewertungen zu erreichen.


    frleon: Wenn du zahlentheoretische Rätsel magst - kennst du das Luzifer-Rätsel?

    Zitat

    "Give a man a fire and he's warm for the day. But set fire to him and he's warm for the rest of his life."
    Terry Pratchett

  • @Helmchen: Sorry, da habe ich wohl irgendwie den einen Teil überlesen. Gemeint ist: Nur das Zielfeld soll erreicht werden.
    Nightmare: Ja, kenne ich. Kennst du das Rätsel mit dem Verkauf der Schafsherde? Das geht in eine ähnliche Richtung.